Reiziger doorliep de jeugdopleiding van de Amsterdammers en debuteerde in het seizoen 1990/1991 voor Ajax 1. In de thuiswedstrijd tegen sc Heerenveen, op 21 april 1991, mocht de jongeling veertien minuten meedoen. Het duurde vervolgens even voordat Reiziger een vaste basisklant werd bij de Amsterdammers.
Na verhuurperiodes bij FC Volendam en FC Groningen koos Louis van Gaal met ingang van het seizoen 1994/1995 voor Reiziger in de Amsterdamse verdediging. Reiziger speelde dat seizoen elk wedstrijd en miste geen enkele minuut in de competitie, het bekertoernooi en de UEFA Champions League.
Reiziger won als speler uiteindelijk met Ajax onder meer twee landskampioenschappen, de Champions League, de Wereldbeker en de Supercup en was onderdeel van de succesvolle ploeg in 1995. Hij vertrok in de zomer van 1996, na 93 officiële wedstrijden en één doelpunt voor Ajax 1, naar AC Milan.
In 2017 keerde Reiziger terug in Amsterdam, ditmaal als trainer. Als hoofdtrainer van Jong Ajax werd hij in 2018 kampioen in de toenmalige Jupiler League. In dat seizoen had hij zelfs eenmalig de leiding over een wedstrijd van Ajax 1, als interim-trainer. Sinds het seizoen 2019/2020 is Reiziger assistent-trainer bij Ajax 1 van achtereenvolgens Erik ten Hag, Alfred Schreuder en John Heitinga. Als assistent werd hij in 2020 en 2021 kampioen van Nederland en won hij in 2021 de KNVB Beker.
